题文

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°。 （1）直接写出D点的坐标； （2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系； （3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。

备用图

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）D点的坐标是；
（2）连结OD，如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上， 则∠DOE=∠COD=45°， 又在梯形DOAB中，∠BAO=45°， ∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°， 又∠2=∠DEA-45°， ∴∠1=∠2， ∴△ODE∽△AEF， ∴， 即： ∴y与x的解析式为：；	图1
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况， ①当EF=AF时，如图（2）， ∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°， ∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF）， ∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积， ∵， ∴ ， ∴， ∴（也可用）， ②当EF=AE时，如图（3）， 此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积， ∠DEF=∠EFA=45° ， DE∥AB ， 又DB∥EA， ∴四边形DEAB是平行四边形， ∴AE=DB=， ∴ ， ③当AF=AE时，如图（4）， 四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内， ∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积， 由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3， ∴AE=AF=OA-OE=， 过F作FH⊥AE于H，则 ∴ 综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或。	图2 图3 图4

据专家权威分析，试题“如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称，梯形，梯形的中位线，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定轴对称梯形，梯形的中位线相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：