题文

已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点。

（1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点， ∴函数的解析式为：y=x+1或y=x2+x+1； （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C， ∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0）， 图象与y轴的交点坐标为A（0，1）， ∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B， ∴PB⊥AB，则∠PBC=∠BAO， ∴Rt△PCB∽Rt△BOA， ∴，故PC=2BC， 设P点的坐标为（x，y）， ∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角， ∴∠PBO是钝角， ∴x<-2， ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）， ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上， ∴-4-2x=x2+x+1， 解之得：x1=-2，x2=-10， ∵x<-2， ∴x=-10， ∴P点的坐标为：（-10，16）； （3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上， 由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM， CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D， 取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ， ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE， ∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴， ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB， ∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=， CE=2QE=2×2BE=4BE， 又CB=8，故BE=，QE=， ∴Q点的坐标为（-，）， 可求得M点的坐标为， ∵， ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上。

据专家权威分析，试题“已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点。（1）求这个函数关..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；