题文

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）。 （1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状； （2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运，设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0） ∴得到， 解得a=-，b=，c=4 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4 （或y=-（x+2）（x-6）或y=-（x-2）2+） 四边形OADE为正方形；
（2）根据题意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2， ∴CE=2、 ∴CO=FA=6 ∵运动的时间为t ∴CP=FQ=t 过M作MN⊥OE于N，则MN=2 当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t  ∴S=+=（6-t）×2+（6-t）（2- t）=（6-t）（4- t） ∴S=t2-5t+12， 当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，（不写也可） 当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45° ∵FQ=CP=t，FO=CE=2 ∴OQ=EP ∴△QOM≌△PEM ∴四边形OPMQ的面积S==×4×2=4 综上所述，当0≤t＜2时，S=t2-5t+12； 当2＜t＜6时，S=4；
（3）存在N1（1，5），N2（5，），N3（2+，-2），N4（2-，-2）。

据专家权威分析，试题“如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，梯形，梯形的中位线，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用梯形，梯形的中位线正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax