题文

已知抛物线交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D。

（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E。求证：四边形ODBE是等腰梯形； （3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）求出：b=-4，c=3，抛物线的对称轴为：x=2； （2）抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）， 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0）， 连接OD，DB，BE， ∵△OBC是等腰直角三角形，△DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE=∠OBD=45°， ∴OE∥BD， ∴四边形ODBE是梯形， 在Rt△ODF和Rt△EBF中， OD=，BE=， ∴OD=BE， ∴四边形ODBE是等腰梯形； （3）存在， 由题意得：， 设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：， ∴， 当y=1时，即， ∴， ∴Q点坐标为（2+，1）或（2-，1）， 当y=-1时，即，∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）， 综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+，1），Q2（2-，1），Q3（2，-1）， 使得。

据专家权威分析，试题“已知抛物线交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像梯形，梯形的中位线

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。