题文

如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米。 （1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）； （2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米2。 ①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=时x的值； ②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵AB=CD=x米， ∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米；
（2）①如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， 在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°， ∴AE=x，BE=x， 同理DF=x，CF=x 又EF=BC=40-2x ∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x， ∴S=（40-2x+40-x）·x=x（80-3x）=（0＜x＜20） 当S=时， 解得：x1=6，x2=（舍去） ∴x=6 ②由题意，得40-x≤24，解得x≥16，结合①得16≤x＜20 由①，S== ∵a=＜0 ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）， 其对称轴为x=， ∵16＞，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小， ∴当x=16时，S取得最大值， 此时S最大值=。

据专家权威分析，试题“如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用梯形，梯形的中位线

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；