题文

.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。

（1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。（图（2）、图（3）供画图探究）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴解得 ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3； （2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1）， ∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2-1），M3，M4（2，-2-1）； （3）由（1），得A（1，0），连接BP， ∵∠CBA=∠ABP=45°， ∴当时，△ABC∽△PBQ， ∴BQ=3， ∴Q1（0，0）， ∴当时，△ABC∽△QBP， ∴BQ=， ∴Q2； （4）当0＜x＜3时， 在此抛物线上任取一点E连接CE、BE， 经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F， 设点F（x，-x+3），点E（x，x2-4x+3）， ∴EF=-x2+3x， ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x=， ∵a=-＜0， ∴当x=时，S△CBE有最大值， ∴y=x2-4x+3=-， ∴E。

据专家权威分析，试题“.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。