题文

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒。 （1）求直线EF的表达式及点G的坐标； （2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式； （3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3， ∴OD=CD=8 ∴点F的坐标为（3，8） ∵A（-6，0）， ∴OA=6 ∴AD=10， 过点E作EH⊥x轴于点H，则△AHE∽△AOD， 又E为AD的中点， ∴　 ∴AH=3，EH=4 ∴OH=3， ∴点E的坐标为（-3，4）， 设过E、F的直线为y=kx+b， ∴　 ∴　 ∴直线EF为y=x+6 令x=0，则y=6， ∴点G的坐标为（0，6）； （2）延长HE交CD的延长线于点M，则EM=EH=4， ∵DF=3， ∴S△DEF=×3×4=6， 且S平行四边形ABCD=CD·OD=8×8=64， ①当点P在AB上运动时， S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△APE-S四边形PBCF， ∵AP=t，EH=4， ∴S△APE=×4t=2t， S四边形PBCF=（5+8-t）×8=52-4t， ∴S=64-6-2t-（52-4t），即S=2t+6， ②当点P在BC边上运动时， S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△PCF-S四边形ABPE， 过点P作PN⊥CD于点N， ∵∠C=∠A，sin∠A=， ∴sin∠C=， ∵PC=18-t， ∴PN=PC·sin∠C=（18-t）， ∵CF=5， ∴S△PCF=×5×（18-t）=36-2t， 过点B作BK⊥AD于点K， ∵AB=CD=8， ∴BK=AB·sin∠A=8×， ∵PB=t-8， ∴S四边形ABPE=（t-8+5）×， ∴S=64-6-（36-2t）-， 即S=-， ③当点P在CF上运动时， ∵PC=t-18， ∴PF=5-（t-18）=23-t， ∵EM=4， ∴S△PEF=×4×（23-t）=46-2t， 综上：S=； （3）存在，，。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直角三角形的性质及判定，相似三角形的性质，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用直角三角形的性质及判定相似三角形的性质解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,