题文

如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（-3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式； （2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N。 ①当t为何值时，线段MN最长； ②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由。 参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）抛物线与x轴交于点A（-3，0），C（5，0） ∴ 解得 ∴抛物线的函数关系式为。
（2）①延长NM交AC于E，如图 ∵B为抛物线的顶点 ∴B（1，8） ∴BD=8，OD=1 又C（5，0） ∴CD=4 ∵PM⊥BD，BD⊥AC， ∴PM∥AC ∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD ∴△BPM∽△BDC ∴ 根据题意可得BP=t ∴ ∴ ∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°， ∴四边形PMED为矩形 ∴ ∴ ∴ ∵点N在抛物线上，横坐标为 ∴点N的纵坐标为 ∴ ∵PB=t，PD=ME ∴EM=8-t ∴ 当t=4时，MN最大=2。
②存在符合条件的t值，连接OP，如图 若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC ∵ ∴ ∴5-=1 解得t=6 ∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（-3，0）、C（5，0）两点，点B为抛..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，梯形，梯形的中位线，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用梯形，梯形的中位线相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax