题文

如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处。 （1）求D点坐标； （2）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式； （3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过点D作DC⊥x轴于点C，如图（1）， 由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°， ∴∠DOC=30°， 在Rt△COD中， OC=OD·cos30°=3×， CD=OD·sin30°=3×， ∴D；	（1）
（2）在Rt△AOB中，AB=AO·tan30°=3×， ∴B（，3）， ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B（，3），D两点， ∴ 解得 ∴此抛物线表达式为y=-；
（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）， ∵E为抛物线y=-的顶点， ∴E， 设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（，3）代入，得k=， ∴y=x， ∵P在射线OB上， ∴P（x，x），F， 则H，G， ∵M在抛物线上，M， 要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM， 即 解得，， ∴P1点坐标为（2，6），P2点坐标为。	（2）

据专家权威分析，试题“如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，梯形，梯形的中位线，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称梯形，梯形的中位线解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。