题文

如图，已知直线y=x-1与y轴交于点C，将抛物线y=-（x-2）2向上平移n个单位（n＞0）后与x轴交于A，B两点。 （1）直接写出点C的坐标； （2）当经过C，A，B三点的圆的面积最小时。 ①求n的值； ②在y轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使得既与直线y=x-1相切，又与y轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令x=0，y=0-1=-1， ∴点C的坐标（0，-1）； （2）①平移后二次函数的解析式为y=-（x-2）2+n 由题意知：过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点， ∴当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小．此时，圆的半径为2，面积为4π， 设圆心为M，直线x=2与x轴交于点D，连结AM，则AM=2，DM=1， 在Rt△PMD中，AD= ∴点A的坐标是（2-，0），代入抛物线得n=， ∴当n=时，过C，A，B三点的圆的面积最小，最小面积为4π； （3）如图2，当点P在直线AC下方时，设直线y=x-1与x轴相交于点E，过点P作PN⊥EC于点N，PM∥y轴交EC于点N，则∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°， ∴△PMN∽△ECO， ∴ 令y=x-1=0.则x=，即OE=，CE=， 设点P的横坐标为m，则PM=m-1+（m-2）2-= ∴PN=， 根据题意，=m，解得m1=， m2=（不合题意，舍去） 即点P的坐标是（） 当点P在直线AC上方时，同理可得=-m， 解得m3=（不合题意，舍去）， 即点P的坐标是（）， 综上，点P的坐标是（）或（）。

据专家权威分析，试题“如图，已知直线y=x-1与y轴交于点C，将抛物线y=-（x-2）2向上平移n个..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一次函数的图像，相似三角形的性质，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一次函数的图像相似三角形的性质平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用