题文

在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（4，0），设P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时出发，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动，设运动时间为t（秒）。

（1）用含t的代数式表示点P的坐标； （2）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？ （3）在什么条件下，以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）作PM⊥y轴，PN⊥x轴 ∵OA=3，OB=4， ∴AB=5 ∵PM∥x轴 ∴ ∴ ∴PM=t ∵PN∥y轴 ∴ ∴ ∴PN=3-t ∴点P的坐标为（t，3-t）。

（2）①当∠POQ=90°时，t=0，△OPQ就是△OAB，为直角三角形 ②当∠OPQ=90°时，△OPN∽△PQN， ∴PN2=ON·NQ （3-t）2=t（4-t-t） 化简，得19t2-34t+15=0， 解得t=1或t= ③当∠OQP=90°时，N、Q重合 ∴4-t=t， ∴t= 综上所述，当t=0，t=1，t=，t=时，△OPQ为直角三角形。 （3）当t=1或t=时，即∠OPQ=90°时，以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线 当t=1时，点P、Q、O三点的坐标分别为P（，），Q（3，0），O（0，0） 设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-0）， 即y=a（x2-3x） 将P（，）代入上式，得a=- ∴y=-（x2-3x） 即y=-x2+x 说明：若选择t=时，点P、Q、O三点的坐标分别是P（，），Q（，0），O（0，0） 求得抛物线的解析式为y=-x2+x。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（4，0），设P、Q分别是线段AB..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用