题文

如图1，已知直线y=-x与抛物线y=-x2+6交于A，B两点。

（1）求A，B两点的坐标； （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）依题意得，解之得， ∴A（6，-3），B（-4，2）； （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点， 交AB于M（如图1）， 由（1）可知：OA=3，OB=2， ∴AB=5， ∴， 过B作BE⊥x轴，E为垂足， 由△BEO∽△OCM，得：， ∴OC=， 同理：， ∴， 设CD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴，∴， ∴AB的垂直平分线的解析式为：； （3）若存在点P使△APB的面积最大， 则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y=-x+m上， 并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）， ∴， ∴， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ∴m=， ∴P（1，） 在直线GH：中， ∴， ∴GH=， 设O到GH的距离为d， ∵， ∵， ∴d=， 又∵由AB∥GH， ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d， ∴S最大面积=。

据专家权威分析，试题“如图1，已知直线y=-x与抛物线y=-x2+6交于A，B两点。（1）求A，B两点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；