设二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左边),与y轴交于C点,线段AO与OB的长的积等于6(O是坐标原点),连接AC、BC,求sinC的值.-数学

题文

设二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左边),与y轴交于C点,线段AO与OB的长的积等于6(O是坐标原点),连接AC、BC,求sinC的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

∵二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左边),
∴设A、B的坐标为(x1,0),(x2,0),
∴OA=|x1|,OB=|x2|,
∴x1+x2=-(m-2),x1x2=-3(m+1),
而线段AO与OB的长的积等于6,
∴3(m+1)=±6,
∴m=1或-3,
当m=1时,抛物线解析式为y=-x2-x+6,
∴A、B的坐标为(-3,0),(2,0),C(0,6)
∴AC=3

5
,BC=2

10
,AB=5,
如图抛物线过A作AD⊥BC于D,
则S△ABC=
1
2
CO?BA=
1
2
AD?BC,
∴AD=
CO×BA
BC
=
3
4

10

∴sinC=
AD
AC
=

2
4

当m=-3时,抛物线解析式为y=-x2-5x-6,
∴A、B的坐标为(-3,0),(-2,0),C(0,-6)
∴AC=3

5
,BC=2

10
,AB=1,
如图抛物线过A作AD⊥BC于D,
则S△ABC=
1
2
CO?BA=
1
2
AD?BC,
∴AD=
CO×BA
BC
=
3
10

10

∴sinC=
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AD
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