题文

（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， ∴∠BDC=90°+∠A。 （2）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线， ∴∠CBD=（∠A+∠ACB），∠BCD=（∠A+∠ABC）， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（2∠A+180°-∠A）=90°-∠A 即∠BDC=90 °-∠A。

据专家权威分析，试题“（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与..”主要考查你对  角平分线的定义 ，三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 三角形的内角和定理

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。