题文

下列说法： ①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形． ②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个． ③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD= 1 2 AB． ④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC= 1 2 ∠DAB其中，正确的有______（请写序号，错选少选均不得分）

题型：填空题  难度：中档

答案

若△ABC中，AB=AC，∠A=45°，不论过A作直线（或过B作直线或过C作直线）都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形，∴①错误； 图②中，有等腰三角形7个：△ABD，△CBD，△ACE，△CDE，△BEF，△CDF，△FBC，∴②错误； ∵等边△ABC， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∵AD∥BC，CD⊥AD， ∴∠DCB=∠D=90°， ∴∠ACD=30°， ∴AD= 1 2 AC= 1 2 AB，∴③正确； 过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF， ∴ AE AC = AB AF ， ∵AE=AB，AD=AC， ∴AF=AC=AD， ∴CE=BF， 即BE∥CF，CE=BF， ∴四边形BECF是等腰梯形， ∴EF=BC， 在△DAC和△FAC中 AD=AF ∠DAC=∠FAC AC=AC ， ∴△DAC≌△FAC， ∴CD=CF， 同理DE=EF， ∵AD=AC，AE=AB， ∴∠ADC=∠ACD，∠AEB=∠ABE， ∵∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°， ∴∠ACD=∠AEB， ∵∠AEB=∠DEC， ∴∠ACD=∠DEC， ∴DE=CD， ∴DC=CF=EF=ED， ∵EF=CB， ∴DC=BC， ∴∠CBD=∠CDE， ∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE， 由三角形的内角和定理得：∠CDE=∠CAB= 1 2 ∠DAB， ∴∠DBC= 1 2 ∠DAB，∴④正确． 故答案为：③④．

据专家权威分析，试题“下列说法：①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分..”主要考查你对  角平分线的定义 ，三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 三角形的内角和定理直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等边三角形

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：