题文

（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值． 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　   　． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　   　． （3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）=。 （2）。 （3）拓展延伸：作图如下：

分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值： ∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点 ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1。 ∴CE=BE=。 （2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值： ∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称。 ∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°。∴∠EOC=30°。 ∴∠AOE=60°+30°=90°。 ∵OA=OE=1，∴AEOA=。 ∵AE的长就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是。 （3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N。则点M，点N，使PM+PN的值最小。 解：（1）观察发现：。 （2）实践运用： 如图，过B点作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，则点P 即为使BP+AP的值最小的点。 BP+AP的最小值是。 （3）拓展延伸：作图如下：

据专家权威分析，试题“（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使..”主要考查你对  点、线、面、体   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

点、线、面、体

考点名称：点、线、面、体

• 点动成线，线动成面，面动成体：
  长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。
  包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。
  夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象，面和面相交的地方形成线。
  天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。
  几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

• 常见几何体的三视图：
  
  

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