如图a,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b,点E、F分别是两腰AD、BC上的点,且EF∥AB,设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2,某同学在对这一图形进行研究时,发现如下事实:①当d1d2=1-数学

51时,有EF=
5a+b
6

根据以上结论,解答下列问题:
(1)猜想当
d1
d2
=
1
n
d1
d2
=
m
1
时,分别能得到什么结论(其中m、n均为正整数)?
(2)进一步猜想当
d1
d2
=
m
n
时,有何结论(其中m、n均为正整数)?并证明你的结论;
(3)如图b,有一块梯形耕地ABCD,AB∥CD,CD=100米,AB=300米,AD=500米,在AD上取两点E、F,使DE=200米,EF=150米,分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠,直到另一腰,求这两条水渠的总长度.


题型:解答题  难度:中档

答案



(1)当
d1
d2
=
1
n
时,EF=
a+nb
n+1

d1
d2
=
m
1
时,EF=
ma+b
m+1


(2)当
d1
d2
=
m
n
时,EF=
ma+nb
m+n

证明:延长AD、BC交于G,设△DCG在BC边上的高为h,则由三角形相似得:

b
EF
=
h
h+m
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b
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