题文

平面内两条直线l1∥l2，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上． （1）如图1，将点C放置在直线l2上，且AC⊥l1于O，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a； 请你继续完成下面的探索： （2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论； （3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，直线l2与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m1，△CGH的周长为m2，试问m1，m2和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：连接EC，FC． ∵AC⊥l1， ∴∠B=∠COE=90°． 在Rt△BCE和Rt△OCE中 又∵BC=CO=a，EC=EC， ∴△BCE≌△OCE（HL）． ∴BE=EO．同理OF=FD． ∴AE+AF+EF=AB+AD=2a． （2）如图4，过C作CM⊥EF于M， 则∠B=∠EMC=90°． 在Rt△BCE和Rt△MCE中， ∵BC=CM=a，EC=EC， ∴△BCE≌△MCE（HL）， 同理△CMF≌△CDF 得BE=ME，MF=DF． ∴AE+AF+EF=AB+AD=2a． （3）m1+m2=2a 证明：如图5将l1，l2分别同时向下平移相同的距离，则l4和l3的距离还是a，使得l4经过点C，l3交AB于M，交AD于N 由（2）的证明知AM+MN+AN=2a， 过F作FK∥AB交MN于K． ∴四边形EMKF为平行四边形． ∴EF=MK，FK=EM， ∵作FQ⊥MN于Q，CP⊥GH于P．则FQ=CP． ∵FK∥AB， ∴∠FKQ=∠AMN． 作BJ∥MN， ∴∠AMN=∠ABJ． ∵∠ABJ+∠CBJ=90°，∠CBJ=∠BGT=∠CGP，∠CGP+∠GHC=90°． ∴∠FKQ=∠GHC． ∴△FQK≌△CPH ∴FK=CH，KQ=PH． 同理FN=GC，NQ=GP． ∴KN=GH．则AE+AF+EF+GC+CH+GH， =AE+EM+AF+FN+MK+KN， =AM+AN+MN， =2a．

据专家权威分析，试题“平面内两条直线l1∥l2，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的..”主要考查你对  平行线之间的距离，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线之间的距离正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：平行线之间的距离

• 两条平行线之间的距离：
  是指从两条平行直线中的一条直线上的一点作另一条直线的垂线段的长；
  注：
  ①能表示两条平行线之间的距离的线段与这两条平行线都垂直；
  ②平行线的位置确定之后，它们之间的距离是定值，它不随垂线段位置的改变而改变；
  ③平行线间的距离处处相等。

• 三种距离定义：
  1.两点间的距离——连接两点的线段的长度；
  2.点到直线的距离——直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
  3.两平行线的距离——两天平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度。

  两直线间的距离公式：
  设两条直线方程为
  Ax+By+C1=0
  Ax+By+C2=0
  则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)
  推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a,b)在直线Ax+By+C1=0上，
  则满足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1,由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为
  d=|Aa+Bb+C2|/√(A²+B²)=|-C1+C2|/√(A²+B²)
  =|C1-C2|/√(A²+B²)

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
  特殊的长方形。
  四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
  有一组邻边相等的矩形是正方形。
  有一个角为直角的菱形是正方形。
  对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
  对角线相等的菱形是正方形。

• 正方形的性质：
  1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
  2、内角：四个角都是90°；
  3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
  4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
  5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
  6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
  正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
  7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
  正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
  8、正方形是特殊的长方形。

• 正方形的判定：
  判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
  1：对角线相等的菱形是正方形。
  2：有一个角为直角的菱形是正方形。
  3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
  4：一组邻边相等的矩形是正方形。
  5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
  6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
  7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
  8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
  9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
  
  有关计算公式：
  若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
  正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
  正方形周长计算公式: C=4a 。
  S_正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）