题文

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，请回答下列问题． （1）DE与BE相等吗？请说明理由； （2）判断BC，DE，EF三者的数量关系，并说明理由； （3）平行线DE，BC之间的距离与DF的长度有何数量关系，为什么？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）DE=BE，理由如下： ∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC． 又BD平分∠ABC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE． （2）BC=DE+EF，理由如下： ∵∠FBD=∠CBD，∠DFB=∠DCB=90°，BD=BD， ∴△BDF≌△BDC． ∴BC=BF． ∴BC=BE+EF=DE+EF． （3）平行线DE，BC之间的距离等于DF的长，理由如下： 根据（2）中已证明的全等三角形得DF=DC，即平行线DE，BC之间的距离等于DF的长．

据专家权威分析，试题“如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥B..”主要考查你对  平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线之间的距离等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：平行线之间的距离

• 两条平行线之间的距离：
  是指从两条平行直线中的一条直线上的一点作另一条直线的垂线段的长；
  注：
  ①能表示两条平行线之间的距离的线段与这两条平行线都垂直；
  ②平行线的位置确定之后，它们之间的距离是定值，它不随垂线段位置的改变而改变；
  ③平行线间的距离处处相等。

• 三种距离定义：
  1.两点间的距离——连接两点的线段的长度；
  2.点到直线的距离——直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
  3.两平行线的距离——两天平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度。

  两直线间的距离公式：
  设两条直线方程为
  Ax+By+C1=0
  Ax+By+C2=0
  则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)
  推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a,b)在直线Ax+By+C1=0上，
  则满足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1,由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为
  d=|Aa+Bb+C2|/√(A²+B²)=|-C1+C2|/√(A²+B²)
  =|C1-C2|/√(A²+B²)

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。