题文

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值，请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 （1）当∠BAC= 90°时，依问题中的条件补全下图，观察图形，AB与AC的数量关系为____； 当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为____； 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为：____； （2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

题型：探究题  难度：偏难

答案

解：（1）如图（1），相等15°；1/3；
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同， 证明：如图（2），作∠KCA= ∠BAC， 过B点作BK//AC交CK于点K，连接DK， ∵∠BAC≠90°， ∴四边形ABKC是等腰梯形， ∴CK=AB， ∵DC=DA，  ∴∠DCA=∠DAC， ∵∠KCA=∠BAC， ∴∠KCD=∠3， ∴△KCD≌△BAD， ∴∠2=∠4，KD= BD， ∴KD=BD=BA=KC， ∵BK//AC， ∴∠ACB=∠6， ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6， ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB， ∴∠KBD=60°， ∵∠ACB=∠6=60°- ∠l， ∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1， ∵∠l+（60°-∠l）+（120°-2∠1）+∠2 =180°， ∴∠2=2∠1， ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1/3。

据专家权威分析，试题“问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=..”主要考查你对  三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定全等三角形的性质

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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