题文

平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小； （2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N（如图2），则∠ANC=（    ）．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）如图1，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，AD与CM交于Q， 设∠CFD=x°，则∠AFB=∠CFD=x度， △CFD中∠BCD=180°﹣∠ADC﹣∠CFD=180°﹣42°﹣x=138°﹣x， ∵CM平分∠BCD得到：∠BCM=∠BCD=69°﹣x， 同理：∠BAM=∠MAD=78°﹣x， 在△ABP中利用三角形内角和定理得到：∠APB=180°﹣24°﹣（78°﹣x）=78°+x， 则∠CPM=∠APB=180°﹣24°﹣（78°﹣x）=78°+x， 在△CPM中三内角的和是180°，即：（69°﹣x）+（78°+x）+∠AMC=180°， 则∠AMC=33°； （2）123°．

据专家权威分析，试题“平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC=24°，∠ADC=4..”主要考查你对  三角形的内角和定理，角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理角平分线的定义

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。