题文

一张台面为长方形ABCD的台球桌，只有四个角袋（分别以台面顶点A、B、C、D表示），台面的长、宽分别是m、n（m、n为互质的奇数，且m＞n），台面被分成m×n个正方形．只用一个桌球，从桌角A以与桌边成45°夹角射出，碰到桌边后也以与桌边成45°角反弹（入射线与反射线垂直，如图）．假设桌球不受阻力影响，在落袋前能一直运动． 求证：不论经过多少次反弹，桌球都不可能落入D袋．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：如图：将桌边的正方形顶点从A开始： 按逆时针方向依次编号为0，1，0，1…，0，1， ∵m、n均为奇数， ∴点B的编号必为1，点C的编号必为0，点D的编号必为1． 由于桌球从A点以45°角射出，碰到桌边也以45°角反弹， 当桌球反弹至邻边时，射线与两边桌边围成一个等腰直角三角形，该等腰直角三角形的斜边两端点也就是球的射线的两端点编号必相同， （如图中射线EF，等腰Rt△ECF中，∵EC=CF，∴从E经H、C、K到F，编号变为偶数次，E与F的编号必相同）…： 当桌球反弹至对边时，球的射线的两个端点的编号必也相同（如图中射线PG，因为PH=HG=CD，HC+DG，从P经路径ECFD到G，编号也变了偶数次，P与G的编号必也相同）． 综上，不论经过多少次的反弹，桌球在桌边碰到的点的编号均为与A点的编号相同，而A点的编号为0， 所以桌球不可能落入编号为1的D袋中．

据专家权威分析，试题“一张台面为长方形ABCD的台球桌，只有四个角袋（分别以台面顶点A、..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。