题文

已知x1、x2、…、x40都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若x12+x22+…+x402的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于______．

题型：填空题  难度：中档

答案

因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种， 故x12+x22+…+x402的最小值和最大值是存在的． 不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1-1）+（x2+1），且（x1-1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2-x1）+2＞x12+x22， 所以，当x1＞1时，可以把x1逐步调整到1，这时x12+x22+…+x402将增大； 同样地，可以把x2，x3，x39逐步调整到1，这时x12+x22+…+x402将增大． 于是，当x1，x2，x39均为1，x40=19时，x12+x22+…+x402取得最大值，即A= 12+12++12 39个 +192=400． 若存在两个数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i≤j≤40），则（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xj-xi-1）＜xi2+xj2， 这说明在x1，x3，x39，x40中， 如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，x12+x22+…+x402将减小． 所以，当x12+x22+…+x402取到最小时，x1，x2，x40中任意两个数的差都不大于1． 于是当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x12+x22+…+x402取得最小值， 即B= 12+12++12 22个 + 22+22++22 18个 =94， 故A+B=494．

据专家权威分析，试题“已知x1、x2、…、x40都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若x12+x22+…+..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。