题文

探究题：已知：1- 1 2 = 1 1×2 ， 1 2 - 1 3 = 1 2×3 ， 1 3 - 1 4 = 1 3×4 … （1）观察上面式子的规律，请你猜测并写出第五项； （2）上述的规律用一般的式子可以表示为： 1 n - 1 n+1 = 1 n(n+1) （n为正整数）；试证明它的正确性； （3）请直接用上述的结果计算 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 +…+ 1 x(x+1) （x为正整数）的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵1- 1 2 = 1 1×2 ， 1 2 - 1 3 = 1 2×3 ， 1 3 - 1 4 = 1 3×4 … ∴第五项： 1 5 - 1 6 = 1 5×6 ； （2）左边= 1 n - 1 n+1 ， = n+1 n(n+1) - n n(n+1) ， = n+1-n n(n+1) ， = 1 n(n+1) ， ∵左边=右边， ∴ 1 n - 1 n+1 = 1 n(n+1) （n为正整数）； （3）原式= 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 +…+ 1 x - 1 x+1 ， = 1 2 - 1 x+1 ， = x+1-2 2(x+1) ， = x-1 2(x+1) ．

据专家权威分析，试题“探究题：已知：1-12=11×2，12-13=12×3，13-14=13×4…（1）观察上面式子..”主要考查你对  分式的加减  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减

考点名称：分式的加减

• 分式的加减法则：
  同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
  异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
  用式子表示为：
  

• 分式的加减要求：
  ①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适时地约分；
  ②如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成是分母为1的分式，先通分，再进行加减。