题文

问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N。 问题解决：如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小。 解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab， ∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2， ∵a≠b， ∴（a-b）2＞0， ∴M-N＞0， ∴M＞N。

类别应用： （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低。 （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）。

联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：类别应用：（1）， ∵a，b是正整数且a≠b， ∴， ∴， ∴小丽购买商品的平均价格比小颖的高； （2）由图知，M1=2（a+b+b+c）=2a+4b+2c， N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c， M1-N1=（2a+4b+2c）-（2a+2b+4c）=2b-2c=2（b-c） ∵b＞c， ∴M1-N1=2（b-c）＞0，即M1＞N1， 所以第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长； 联系拓广：设图5的捆绑绳长为，则=2a×2b+2×2+4c×2=4a+4b+8c 设图6的捆绑绳长为，则=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c 设图7的捆绑绳长为，则=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c ∵-=（4a+4b+8c）-（4a+4b+4c）=4c＞0， ∴＞， ∵-=（6a+4b+6c）-（4a+4b+8c）=2a-2c＞0， =2（a-c）＞0，（∵已知a＞c） ∴＞， ∴＞＞， 所以第三种捆绑方法用绳最长，第二种最短。

据专家权威分析，试题“问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简，整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简整式的加减乘除混合运算

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。