题文

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4， a a2-3a-1 + b b2-3b-1 + c c2-3c-1 = 4 9 ，则a2+b2+c2=______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵abc=-1，a+b+c=4， ∴a2-3a-1=a2-3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1）， ∴ a a2-3a-1 = 1 (b-1)(c-1) ， 同理可得： b b2-3b-1  = 1 (a-1)(c-1) ， c c2-3c-1 = 1 (a-1)(b-1) ， 又 a a2-3a-1 + b b2-3b-1  + c c2-3c-1 = 4 9 ， ∴ 1 (b-1)(c-1) + 1 (a-1)(c-1) + 1 (a-1)(b-1) = 4 9 ， ∴ (a-1)+(b-1)+(c-1) (a-1)(b-1)(c-1) = 4 9 ，即 4 9 （a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1）， 整理得： 4 9 （abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3， 将abc=-1，a+b+c=4代入得：ab+bc+ac=- 1 4 ， 则a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）= 33 2 ． 故答案为： 33 2 ．

据专家权威分析，试题“已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。