题文

已知 1 a + 1 b + 1 c = 1 a+b+c ，求证：n为奇数时， 1 an + 1 bn + 1 cn = 1 an+bn+cn ．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：∵ 1 a + 1 b + 1 c = 1 a+b+c ， 两边同时乘以abc （abc不等于0）得， bc+ac+ab= abc a+b+c ， 两边同时乘以a+b+c得， a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+3abc=abc， ∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=0， ∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0， ∴a+b，b+c，c+a中，至少有一个是0， 故当n为奇数时an+bn，bn+cn，an+cn至少有一个是0， 同理： 1 an + 1 bn + 1 cn - 1 an+bn+cn ， = (an+bn)(bn+cn)(an+cn) anbncn(an+bn+cn) ， =0． ∴ 1 an + 1 bn + 1 cn = 1 an+bn+cn ．

据专家权威分析，试题“已知1a+1b+1c=1a+b+c，求证：n为奇数时，1an+1bn+1cn=1an+bn+cn．-..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。