题文

已知a、b、c是实数．若 b2+c2-a2 2bc 、 c2+a2-b2 2ca 、 a2+b2-c2 2ab 之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：由题设得： b2+c2-a2 2bc + c2+a2-b2 2ca + a2+b2-c2 2ab =1， 即（ b2+c2-a2 2bc -1）+（ c2+a2-b2 2ca -1）+（ a2+b2-c2 2ab +1）=0， ∴ b2+c2-a2-2bc 2bc + a 2+c2-b2-2ac 2ac + a2+b2-c2+2ab 2ab =0， ∴ (b-c) 2-a2 2bc + (a-c) 2-b2 2ac + (a+b) 2-c2 2ab =0， ∴ a(b-c+a)(b-c-a)+b(a-c+b)(a-c-b) 2abc + c(a+b+c)(a+b-c) 2abc =0， ∴ (a+b-c)(ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+bc+c2) 2abc =0， ∴ (a+b-c)[c2-(a-b) 2] 2abc =0， ∴ (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) 2abc =0， ∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0， （1）若a+b-c=0，则 b2+c2-a2 2bc = b2+c2-(b-c) 2 2bc =1， c2+a2-b2 2ca = c2+a2 -(c-a) 2 2ac =1， a2+b2-c2 2ab = a2+b2-(a+b) 2 2ab =-1， （2）若c+a-b=0，同理可得： b2+c2-a2 2bc =1， c2+a2-b2 2ca =-1， a2+b2-c2 2ab =1， （3）若b+c-a=0，同理可得： b2+c2-a2 2bc =-1， c2+a2-b2 2ca =1， a2+b2-c2 2ab =1， 综上所述（1）、（2）、（3）可得，三个分数， b2+c2-a2 2bc 、 c2+a2-b2 2ca 、 a2+b2-c2 2ab 的值有两个为1，一个为-1．

据专家权威分析，试题“已知a、b、c是实数．若b2+c2-a22bc、c2+a2-b22ca、a2+b2-c22ab之和..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。