题文

如图①，点A、B是双曲线（k>0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且，△AGB的面积为2．

（1）求双曲线的解析式； （2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持不变（如图②），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵四边形OCGF是正方形，∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°．          ∵OC2 =，∴OC=CG=GF=OF=1．        ∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．        ∵点、是双曲线上的点，        ∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为．         ∴AC=k，BF=k． ∴AG=k-1，BG=k-1．          ∵∠AGB=∠CGF=90°， ∴S△AGB =AG·BG==2．            解得x=3（取正值）．        ∴反比例函数的解析式为； （2）点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变， 理由如下：设矩形OCGF的边OC=m，∵= OC·OF=1，∴OF=．       ∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为．          ∵点A、B是双曲线上的点，       ∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为      ∴AC=，BF=3 m．又FG= OC=m，CG= OF=．       ∴AG= AC-CG=-=，BG=BF-FG=3 m-m =2 m      ∴S△AGB =AG·BG=··2 m=2．     ∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．

据专家权威分析，试题“如图①，点A、B是双曲线（k>0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。