题文

已知反比例函数（k 为常数，k ≠1 ）。 （Ⅰ）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2 ，求k 的值； （Ⅱ）若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A （x1，y1）、B （x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（Ⅰ）由题意，设点P 的坐标为（m ，2 ） ∵点P 在正比例函数y=x 的图象上， ∴2=m ，即m=2 ． ∴点P 的坐标为（2 ，2 ）． ∵点P 在反比例函数的图象上， ∴， 解得k=5； （Ⅱ）∵在反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小， ∴k-1 ＞0 ，解得k ＞1； （Ⅲ）∵反比例函数 图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∵点A （x1，y1）与点B （x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2， ∴x1＞x2。

据专家权威分析，试题“已知反比例函数（k为常数，k≠1）。（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用，正比例函数的图像，反比例函数的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用正比例函数的图像反比例函数的性质

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。

考点名称：正比例函数的图像

• 图象：一条经过原点的直线。
  性质：
  （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
  （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
  1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
  2、根据第一步求的x、y的值描出点；
  3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。

• <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
   <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
  

考点名称：反比例函数的性质

• 反比例函数性质：
  1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
  当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
  2.当k>0,在同一个象限内，y随x的增大而减小；
  当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。
  3.当k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；
  当k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
  定义域为x≠0；值域为y≠0。
  4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
  5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
  6. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x，对称中心是坐标原点.

• 函数图象位置和函数值的增减：
  反比例函数:，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：