已知:在矩形A0BC中,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.E是边AC上的一个动点(不与A,C重合),过E点的反比例函数y=kx(k>0)的图象与BC边交于点F.-数学

题文

已知:在矩形A0BC中,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.E是边AC上的一个动点(不与A,C重合),过E点的反比例函数y=
k
x
(k>0)的图象与BC边交于点F.
(1)若△OAE、△OBF的面积分别为S1、S2且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OB=4,OA=3,记S=S△OEF-S△ECF问当点E运动到什么位置时,S有最大值,其最大值为多少?
(3)请探索:是否存在这样的点E,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)∵点E、F在函数y=
k
x
(k>0)的图象上,
∴设E(x1
k
x1
),F(x2
k
x2
),x1>0,x2>0,
∴S1=
1
2
x1
k
x1
=
K
2
,S2=
1
2
x2
k
x2
=
K
2

∵S1+S2=2,
K
2
+
K
2
=2,
∴k=2;

(2)由题意知:E,F两点坐标分别为E(
k
3
,3),F(4,
k
4
),
∴S△ECF=
1
2
EC?CF=
1
2
(4-
1
3
k)(3-
1
4
k),
∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF
=12-
1
2
k-
1
2
k-S△ECF
=12-k-S△ECF
∴S=S△OEF-S△ECF
=12-k-2S△ECF
=12-k-2×
1
2
(4-
1
3
k)(3-
1
4
k),
∴S=-
1
12
k2+k.
当k=-
1
2×(-
1
12
)
=6时,S有最大值.S最大值=
-1
4×(-
1
12
)
=3.
此时,点E坐标为(2,3),即点E运动到AC中点.

(3)设存在这样的点E,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,过点E作EN⊥OB,垂足为N.
由题意得:EN=AO=3,EM=EC=4-
1
3
k,MF=CF=3-
1
4
k,
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°,
∴∠EMN=∠MFB.
又∵∠ENM=∠MBF=90°,
∴△ENM∽△MBF.
EN
MB
=
EM
MF

3
MB
=
4-
1
3
k
3-
1
4
k
=
4(1-
1
12
k)
3(1-
1
12
k)

∴MB=
9
4

∵MB2+BF2=MF2
∴(
9
4
)2+(
k
4
)2=(3-
1
4
k)2,
解得k=
21
8

∴EM=EC=4-
k
3
=
25
8

故AE=
7
8

∴存在符合条件的点E,它的坐标为(
7
8
,3).

据专家权威分析,试题“已知:在矩形A0BC中,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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