题文

已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y= k x (k＞0)的图象与BC边交于点F． （1）若△OAE、△OBF的面积分别为S1、S2且S1+S2=2，求k的值； （2）若OB=4，OA=3，记S=S△OEF-S△ECF问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点E、F在函数y= k x （k＞0）的图象上， ∴设E（x1， k x1 ），F（x2， k x2 ），x1＞0，x2＞0， ∴S1= 1 2 x1 k x1 = K 2 ，S2= 1 2 x2 k x2 = K 2 ， ∵S1+S2=2， ∴ K 2 + K 2 =2， ∴k=2； （2）由题意知：E，F两点坐标分别为E( k 3 ，3)，F(4， k 4 )， ∴S△ECF= 1 2 EC?CF= 1 2 (4- 1 3 k)(3- 1 4 k)， ∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF， =12- 1 2 k- 1 2 k-S△ECF， =12-k-S△ECF， ∴S=S△OEF-S△ECF， =12-k-2S△ECF， =12-k-2× 1 2 （4- 1 3 k）（3- 1 4 k）， ∴S=- 1 12 k2+k． 当k=- 1 2×(- 1 12 ) =6时，S有最大值．S最大值= -1 4×(- 1 12 ) =3． 此时，点E坐标为（2，3），即点E运动到AC中点． （3）设存在这样的点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N． 由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4- 1 3 k，MF=CF=3- 1 4 k， ∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°， ∴∠EMN=∠MFB． 又∵∠ENM=∠MBF=90°， ∴△ENM∽△MBF． ∴ EN MB = EM MF ， ∴ 3 MB = 4- 1 3 k 3- 1 4 k = 4(1- 1 12 k) 3(1- 1 12 k) ， ∴MB= 9 4 ． ∵MB2+BF2=MF2， ∴( 9 4 )2+( k 4 )2=(3- 1 4 k)2， 解得k= 21 8 ． ∴EM=EC=4- k 3 = 25 8 ， 故AE= 7 8 ． ∴存在符合条件的点E，它的坐标为（ 7 8 ，3）．

据专家权威分析，试题“已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。