题文

阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 3 5 ， 2 3 ， 2 3 +1 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 3 5 = 3× 5 5 × 5 = 3 5 5 ；（一） 2 3 = 2×3 3×3 = 6 3 （二） 2 3 +1 = 2×( 3 -1) ( 3 +1)( 3 -1) = 2( 3 -1) ( 3 )2-12 = 3 -1（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 2 3 +1 还可以用以下方法化简： 2 3 +1 = 3-1 3 +1 = ( 3 )2-12 3 +1 = ( 3 +1)( 3 -1) 3 +1 = 3 -1（四） （1）请用不同的方法化简 2 5 + 3 ． ①参照（三）式得 2 5 + 3 =（　　）； ②参照（四）式得 2 5 + 3 =（　　） （2）化简： 1 3 +1 + 1 5 + 3 + 1 7 + 5 +…+ 1 2n+1 + 2n-1 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1） 2 5 + 3 = 2( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 )2-( 3 )2 = 5 - 3 ， 2 5 + 3 = ( 5 )2-( 3 )2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 ； （2）原式= 3 -1 ( 3 +1)( 3 -1) + 5 - 3 ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) + 7 - 5 ( 7 + 5 )( 7 - 5 ) +…+ 2n+1 - 2n-1 ( 2n+1 + 2n-1 )( 2n+1 - 2n-1 ) = 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +…+ 2n+1 - 2n-1 2 = 2n+1 -1 2 ．

据专家权威分析，试题“阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。