题文

阅读与 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 5 3 ， 2 3 ， 2 3 +1 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 5 3 = 5× 3 3 × 3 = 5 3 3 （一）， 2 3 = 2×3 3×3 = 6 3 （二）， 2 3 +1 = 2×( 3 -1) ( 3 +1)( 3 -1) = 2( 3 -1) ( 3 )2-12 = 3 -1（三）， 2 3 +1 还可以用以下方法化简： 2 3 +1 = 3-1 3 +1 = ( 3 )2-12 3 +1 = ( 3 +1)( 3 -1) 3 +1 = 3 -1（四） 以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）请用不同的方法化简 2 5 + 3 ． ①参照（三）式得 2 5 + 3 =______． ②参照（四）式得 2 5 + 3 =______． （2）化简： 2 3 +1 + 2 5 + 3 + 2 7 + 5 +…+ 2 2009 + 2007 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①原式= 2( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) 5-3 = 5 - 3 ． ②原式= ( 5 )2-( 3 )2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 ． 故应填 5 - 3 ． （2）原式=2( 3 -1 ( 3 +1)( 3 -1) + 5 - 3 ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) + 7 - 5 ( 7 + 5 )( 7 - 5 ) + + 2009 - 2007 ( 2009 + 2007 )( 2009 - 2007 ) ) =2( 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +…+ 2009 - 2007 2 ) = 3 -1+ 5 - 3 + 7 - 5 +…+ 2009 - 2007 = 2009 -1． 故应填 2009 -1．

据专家权威分析，试题“阅读与在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。