给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍,则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形,如图,矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形,请你-九年级数学

题文

给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍,则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形,如图,矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形,请你解决下列问题:

(1)边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗?如果存在,求出“加倍”正方形的边长;如果不存在,说明理由。
(2)当矩形的长和宽分别为m,n时,它是否存在“加倍”矩形?请作出判断,说明理由。
题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)不存在  
因为两个正方形是相似图形,当它们的周长比为2时,则面积比必定是4,所以不存在。
(2)存在
设“加倍”矩形的长和宽分别为x,y

x,y就是关于A的方程的两个正根

当m,n不同时为零时,此题中,m>0,n>0

∴方程有两个不相等的正实数根x和y
即:存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形。

据专家权威分析,试题“给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系,相似多边形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系相似多边形的性质

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

考点名称:相似多边形的性质

  • 相似多边形:
    如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个或多个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比。(或相似系数)
    判定:
    如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.
    如果所有对应边成比例,那么这两个多边形相似

  • 相似多边形的性质:
    相似多边形的性质定理1:相似多边形周长比等于相似比。
    相似多边形的性质定理2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。
    相似多边形的性质定理3:相似多边形中的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比。
    相似多边形的性质定理4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。
    相似多边形的性质定理5:若相似比为1,则全等。
    相似多边形的性质定理6:相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例。
    相似多边形的性质定理7:相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
    相似多边形的性质定理主要根据它的定义:对应角相等,对应边成比例。

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