已知抛物线y=12x2-4x+2m(m+x)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),若y1=x1+x2-12x1-x2,y2=-m2+6m-4(1)当m≥0时,求y1的取值范围;(2)当m≤-1时,比较y1与y2的大小,并说明理由.-数学

题文

已知抛物线y=
1
2
x2-4x+2m(m+x)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),若y1=x1+x2-
1
2

x1-x2

y2=-m2+6m-4
(1)当m≥0时,求y1的取值范围;
(2)当m≤-1时,比较y1与y2的大小,并说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

原函数可化为y=
1
2
x2-(4-2m)x+2m2的形式,
∴x1+x2=2(4-2m)=8-4m,x1?x2=4m2
∴y1=8-4m-

m2

(1)当m≥0时,原函数可化为:y1=8-5m,
∵m≥0,
∴5m≥0,-5m≤0,
∴8-5m≤8,即y1≤8;
(2)当m≤-1时,y1=8-3m,
∵m≤-1,
∴8-3m≥11,即y1≥11;
∵y2可化为:y2=-(m-3)2+5,
∵m≤-1,∴m-3≤-4,
∴(m-3)2≥16,
∴-(m-3)2+5≤-11,即y2≤-11,
∴y1>y2

据专家权威分析,试题“已知抛物线y=12x2-4x+2m(m+x)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系,二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系二次函数与一元二次方程

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

考点名称:二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系:
    函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标,因此,二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看:
    二次函数:y=ax2+bx+c  (a≠0)
    一元二次方程:ax2+bx+c=0  (a≠0)
    2、从内容上看:
    二次函数表示的是一对(x,y)之间的关系,它有无数对解;一元二次方程表示的是未知数x的值,最多只有2个值
    3、相互关系:
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如:y=x2-4x+3与x轴的交点是(1,0)、(3,0),则一元二次方程x2-4x+3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系:
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:
    1、若△>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交;
    2、若△=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切(顶点);
    3、若△<0,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=

  • 点拨:
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时,y>0;当x1<x<x2时,y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN=√b2-4ac/|a|。

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