题文

填空： （1）方程x2+2x+1=0的根为x1=______，x2=______，则x1+x2=______，x1?x2=______； （2）方程x2-3x-1=0的根为x1=______，x2=______，则x1+x2=______，x1?x2=______； （3）方程3x2+4x-7=0的根为x1=______，x2=______，则x1+x2=______，x1?x2=______． 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题：已知22+ 3 是方程x2-44x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）方程x2+2x+1=0， ∵b 2-4ac=0， ∴x1=x2=- 2 2 =-1， 则x1+x2=-2，x1?x2=1； 故答案为：-1，-1，-2，1； （2）方程x2-3x-1=0， ∵b 2-4ac=9+4=13＞0， ∴x= 3± 13 2 ， x1= 3+ 13 2 ，x2= 3- 13 2 ，则x1+x2=3，x1?x2=-1； 故答案为： 3+ 13 2 ， 3- 13 2 ，3，-1； （3）方程3x2+4x-7=0 ∵b 2-4ac=16+84=100＞0， ∴x= -4± 100 6 ， ∴x1=- 7 3 ，x2=1，则x1+x2=- 4 3 ，x1?x2=- 7 3 ． 由（1）（2）（3）能得到：x1+x2=- b a ，x1?x2= c a ； ∵当b 2-4ac＞0， ∴x= -b± b2-4ac 2a ， ∴x 1= -b+ b2-4ac 2a ，x2= -b- b2-4ac 2a ， ∴x1+x2=- b a ，x1?x2= c a ； ∵22+ 3 是方程x2-44x+C=0的一个根， ∴x1+x2=22+ 3 +x2=- -44 1 =44， ∴x2=22- 3 ， ∴x1x2=（22+ 3 ）（22- 3 ）=C， ∴C=-481．

据专家权威分析，试题“填空：（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=______，x2=______，则x1+x2=___..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0