题文

如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

连接AD，BD，OD， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵四边形DCFE是正方形， ∴DC⊥AB， ∴∠ACD=∠DCB=90°， ∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB， ∴△ACD∽△DCB， ∴ AC DC = DC BC ， 又∵正方形CDEF的边长为1， ∵AC?BC=DC2=1， ∵AC+BC=AB， 在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2， ∴OD= 1 2 5 ， ∴AC+BC=AB= 5 ， 以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2- 5 x+1=0． 故答案为：此题答案不唯一，如：x2- 5 x+1=0．

据专家权威分析，试题“如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0