题文

如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠B=36°，对角线BD、AC相交于点O，∠BAC的平分线AE交BC边于点E．试解答下列几个问题： （1）不用计算器求：①AE长度的准确值，②∠ABO正弦的准确值； （2）在对角线BD上取一点M．求BM＜AB的概率（如果计算的概率值为无理数，则将计算结果精确到百分位）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=1， 又∵∠EAC= 1 2 ∠BAC=36°，∠AEC=∠ACE=72° ∴AE=AC． 设AE=AC=x，则AE=BE=x，△ABC∽△EAC ∴ AC EC = AB AE 即 x 1-x = 1 x 整理得：x2-x-1=0 解得x1= 5 -1 2 x2=- 5 +1 2 （不合题意舍去） （2）∵AE=AC，∴AC= 5 -1 2 又∵BO⊥AC AB=CB ∴AO= 1 2 AC= 5 -1 4 ∴sin∠ABO= 5 -1 4 （3）设在对角线BD上取一点M，得BM＜AB这一事件的概率为P（BM＜AB）． 在BD上截取BM′=AB．于是P（BM＜AB）=P（BM＜BM′）= 2 5+ 5 ≈0.53．

据专家权威分析，试题“如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠B=36°，对角线BD、AC相交于点O，..”主要考查你对  概率的意义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

概率的意义

考点名称：概率的意义

• 概率的意义：
  一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。
  事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。
  事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。
  注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，故0≤P（A）≤1；
  （2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；
  （3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；
  （4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。