题文

矩形OABC在平 面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6,0），C（0，-3），直线y=-x与BC边相交于D点. （1）若抛物线y=ax-x经过点A，试确定此抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上取一点E，求出EA+ED的最小值； （3）设（1）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.

题型：解答题  难度：偏易

答案

（1）抛物线的解析式为y=x-x （2）EA+ED的最小值为5 （3）P1（3,0），P2（3,4）

试题分析：（1）抛物线y=ax-x经过点A（6,0）， ∴0=36a-×36, ∴a=,故抛物线的解析式为y=x-x.   （2）直线y=-x与BC边相交于D点， 当y=-3时，x=4，∴点D的坐标为（4，-3）. ∵点O与点A关于对称轴对称，且点E在对称轴上， ∴EA="EO," ∴EA+ED=EO+ED, 则最小值为OD==5，∴EA+ED的最小值为5.           （3）抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件. ∵OA∥CB ，∴∠P1OM=∠CDO. ∵∠OP1M=∠DCO=90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO. ∵抛物线的对称轴为x=3，∴点P1的坐标为（3,0）. 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2. ∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO=∠DOC. ∵∠P2OM=∠DCO=90°, ∴Rt△P2MO∽Rt△DOC. ∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠ODC. ∵P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°， ∴Rt△P2P1O ≌Rt△DCO. ∴P1P2=CD=4. ∵点P2在第一象限，∴点P2的坐标为（3,4）. ∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3,0），P2（3,4）.        点评：本题考查抛物线，全等三角形，掌握抛物线的性质，要求考生能求函数解析式，熟悉全等三角形的判定方法，并会证明两个三角形全等

据专家权威分析，试题“矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；