题文

已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an(n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an)与x轴的交点为An－1(,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推． (1) 求a1、b1的值及抛物线y2的解析式； (2) 抛物线y3的顶点坐标为(____，___)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)(用含n的式子表示)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_____________； (3) 探究下列结论： ①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A0A1=______，An－1 An=____________； ②是否存在经过点A1(b1,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4；（2）（9，9），（n2，n2），y=x；（3）2，2n, y=x-2．

试题分析：（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4． （2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x． （3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n； ②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2?（1-k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2． 试题解析：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）， ∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0． 由已知a1＞0，∴a1=1， ∴y1=-（x-1）2+1． 令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2， ∴A1（2，0），b1=2． 由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0）， ∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4， ∵a1=1，且已知a2＞a1， ∴a2=4， ∴y2=-（x-4）2+4． ∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4． （2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6． ∵A1（2，0）， ∴A2（6，0）． 由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0）， ∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9． ∵a2=4，且已知a3＞a2， ∴a3=9， ∴y3=-（x-9）2+9． ∴y3的顶点坐标为（9，9）． 由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9）， 依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）． ∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x． （3）①∵A0（0，0），A1（2，0）， ∴A0A1=2．yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0， 解得x=n2+n或x=n2-n， ∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n． ②存在． 设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k， ∴y=kx-2k． 设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点， 联立两式得：kx-2k=-（x-n2）2+n2，整理得：x2+（k-2n2）x+n4-n2-2k=0， ∴x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k． 过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2-x1， FG=y2-y1=[-（x2-n2）2+n2]-[-（x1-n2）2+n2]=（x1+x2-2n2）（x1-x2）=k（x2-x1）． 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2， 即：EF2=（x2-x1）2+[k（x2-x1）]2=（k2+1）（x2-x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1?x2]， 将x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2?（1-k）+k2+8k]， 当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18， ∴EF=3为定值， ∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2． ∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2． 考点: 二次函数综合题.

据专家权威分析，试题“已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an(n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an)与x轴的交..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：