如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与轴相切于点C，与轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线经过A，B，C三点．（1）求证：∠CAO=∠CAD；（2）求弦BD的长；（3）在抛物线的对称轴-九年级数学
题文
如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与 轴相切于点C，与 轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线 经过A，B，C三点．（1）求证：∠CAO=∠CAD； （2）求弦BD的长； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  |
答案
（1）证明见解析；（2）8；（3）  ，  ，  ， ． |
试题分析：（1）利用切线的性质性质得出∠MCO=90°，进而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可； （2）利用圆周角定里以及平行线的性质，首先得出四边形COMN为矩形，进而求出BD=2MN； （3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可． （1）证明：如图1，连接MC， ∵⊙M与y轴相切于点C，∴CM⊥OC， ∴∠MCO=90°， 又∵∠ACD=90° ∴AD为⊙M的直径， ∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90° ∴∠MCD=∠MDC， ∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90° ∴∠MCD+∠ACM=90° ∴∠OCA=∠MCD=∠MDC ∵∠OCA+∠OAC=90° ∴∠OAC=∠CAD；  （2）解：如图1，过点M作MN⊥OB于点N， 由（1）可知，AD是⊙M的直径， ∴∠ABD=90°， ∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°， ∴MN∥BD， ∴  ，∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°， ∴四边形COMN为矩形， ∴MN=CO=4， ∴BD=2MN=8； （3）解：抛物线的对称轴上存在点P，使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形. 在⊙M中，弧AC=弧AC  ，∴∠ADC=∠ABC,由（1）知，∠ADC=∠OCA, ∴∠OCA=∠OBC 在Rt△CAO和Rt△BOC中， tan∠OCA=  ∴tan∠OBC=  ∴OB=2OC=8 ∴A（2,0），B（8,0） ∵抛物线经过A，B两点， ∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：  ；当CP=CB=5时，△PCB为等腰三角形， 在Rt△COB中，  如图，在Rt△CM 中，  80－25=55 , ∴ 同理可求 的坐标是 当BP=BC=5时，△PCB为等腰三角形，  ∴ 同理可得  坐标为∴符合条件的点P有四个，坐标分别为 ，，，．
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