已知直角坐标系中有一点A(-4，3)，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形。(1)求满足条件的所有点B的坐标。（直接写出答案）(2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数解析式。（只需-九年级数学
题文
| 已知直角坐标系中有一点A(-4，3)，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形。 (1)求满足条件的所有点B的坐标。（直接写出答案） (2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数解析式。（只需求出满足条件的即可）。 (3)在(2)中求出的抛物线上存在点p，使得以O、A、B、P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。  |
答案
(1)（-5，0）；（5，0）；（-8，0）；（- ，0）．(2) 当AB=OA时，y=- x2- x；当OA=OB时，同理得y=- x2- x；(3) （4，-9），48．（-12，-9），48. (1，- ）， ．（-9，-27），75． |
试题分析：（1）根据点A的坐标，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，应分三种情况考虑： ①OA=OB=5，由于点B的位置不确定，因此要分B在x轴正、负半轴两种情况求解，已知了OB的长，即可得到点B的坐标； ②OA=AB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，那么点B的横坐标应为点A横坐标的2倍，可据此求得点B的坐标； ③AB=OB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，可在x轴上截取AD=OA，通过构建相似三角形：△OBA∽△OAD，通过所得比例线段来求出OB的长，从而得到点B的坐标． （2）任选一个（1）题所得的B点坐标，利用待定系数法求解即可． （3）解此题时，虽然不同的抛物线有不同的解，但解法一致；分两种情况： ①OA∥BP时，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为C、E，易证得△AOC∽△PBE，根据所得比例线段，即可求得点P的坐标．而梯形ABPO的面积可化为△ABO、△PBO的面积和来求出． ②OP∥AB时，方法同上，过P作PF⊥x轴于F，然后通过相似三角形：△ABC∽△POF，来求出P点坐标，梯形面积求法同上．（当OA=AB时，两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称，可据此直接求出P点坐标，避免重复计算．） 作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=  （1）当OA=OB=5时， 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（-5，0）； 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；  当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（-8，0）； 当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8．  由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA， 则  ，解得OB= ，点B的坐标为（- ，0）．（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三点， 设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx， 可得方程组  ，解得  ，∴y=- x2-x；当OA=OB时，同理得y=- x2-x；（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴， 则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°， ∴△AOC∽△PBE， ∴  ．设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m-8，-3m）， 代入y=- x2-x，解得m=3； 则点P的坐标为（4，-9）， S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48． 若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（-12，-9）， S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48．  当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴， 则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°， △AOC∽△PBF，  ；设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m-5，-3m）， 代入y=- x2-x，解得m= ．则点P的坐标为（1，-），S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO= ．若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴， 则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°， △ABC∽△POF，  ；设点P的坐标为（-n，-3n）， 代入y=- x2
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