题文

如图①，已知二次函数的解析式是y＝ax2＋bx(a>0)，顶点为A(1，－1)． (1)a＝   ； (2)若点P在对称轴右侧的二次函数图像上运动，连结OP，交对称轴于点B，点B关于顶点A的对称点为C，连接PC、OC，求证：∠PCB＝∠OCB； (3)如图②，将抛物线沿直线y＝－x作n次平移(n为正整数，n≤12)，顶点分别为A1，A2，…，An，横坐标依次为1，2，…，n，各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为D1，D2，…，Dn，以线段AnDn为边向右作正方形AnDnEnFn，是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上，若存在，求出所有满足条件的正方形边长；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）1；（2）证明见解析；（3）2，6．

试题分析：（1）直接利用顶点坐标，进而代入求出即可； （2）根据题意得出，，进而得出△ODC∽△PHC，求出即可； （3）由题意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n），进而得出F1（2，-1），F2（4，-2），F3（6，-3），…Fn（2n，-n）..，即可分类讨论得出n的值． 试题解析：（1）解：∵二次函数的解析式是y=ax2+bx（a＞0），顶点为A（1，-1）， ∴， 解得：． （2）证明：由（1）得，抛物线的解析式为：y=x2-2x， 设P（m，m2-2m），则直线OP的解析式为：y=（m-2）x， ∴B（1，m-2），∴C（1，-m）， 过点P作PH⊥CD于点H，则PH=m-1，CH=m2-m， ∴，， ∵∠ODC=∠PHC， ∴△ODC∽△PHC， ∴∠PCB=∠OCB； （3）解：由题意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n）， ∴F1（2，-1），F2（4，-2），F3（6，-3），…Fn（2n，-n）… 若Fn恰好落在其中的第m个抛物线上（m为正整数，m≤12）， 则该抛物线解析式为：y=（x-m）2-m， 将Fn代入得：-n=（2n-m）2-m， 即（2n-m）2=m-n， ∴m-n是一个平方数，只能是0，1，4，9， 当m-n=0时，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）； 当m-n=1时，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）； 当m-n=4时，2n-m=2或-2，∴n=2或6； 当m-n=9时，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）． 综上所述，正方形边长n的值可以是2，6．

据专家权威分析，试题“如图①，已知二次函数的解析式是y＝ax2＋bx(a>0)，顶点为A(1，－..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；