题文

如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x2－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）． (1)设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y＝x＋m的交点为C，连结BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直线MN的解析式； (2)在(1)条件下，已知点P(t，0)为x轴上的一个动点， ①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标． ②若∠MPN>90°，则t的取值范围是     ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）直线MN的解析式为y=x+1； （2）①若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，P1的坐标为（，0）； 若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，P2的坐标为（，0）； 若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，P3的坐标为（，0）； ②＜t＜．

试题分析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式； （2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F，因为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围． 试题解析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得x2﹣5x+2﹣2m=0， 则x1+x2=5①，x1?x2=2﹣2m②． 过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E． ∵S△MBC=S△NBC， ∴MD=NE，即2﹣x1=（x2﹣2）， ∴x1=﹣x2+ ③， ③代入①，得x2=5，x1=0， 代入②，得m=1， ∴直线MN的解析式为y=x+1； （2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F（﹣2，0）． 若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM， ∴， ∴t=， ∴P1的坐标为（，0）； 若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM， ∴， ∴t=， ∴P2的坐标为（，0）； 若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM， ∴， ∴2t2﹣10t+7=0， 解得：t=， ∴P3的坐标为（，0）； ②由①可知P3的坐标为（，0）， ∵∠MPN＞90°， ∴＜t＜． ．

据专家权威分析，试题“如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x2－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：