题文

已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B（-2,0），顶点为A. （1）求该抛物线的解析式和A点坐标； （2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标； （3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

(1)A点的坐标为（﹣2，6）； （2）D点的坐标为：（2，﹣2）； （3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣x+2．

试题分析：（1）首先依据顶点坐标先求出b的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，通过三角形全等即可求得点D的坐标． （3）由于三角形的各边，只有OB=2是确定长度的，因此可以以OB为基准进行分类讨论： ①OB=OM．因为第二象限内点P到原点的距离均大于4，因此OB≠OM，此种情形排除； ②OB=ON．分析可知，只有如答图2所示的情形成立； ③OB=MN．分析可知，只有如答图3所示的情形成立． 试题解析：（1）∵对称轴与x轴交于点B（﹣2，0）， ∴A的横坐标为：x=﹣2， ∴﹣=﹣2， 解得；b=﹣2， ∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+c， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点（﹣6，﹣2）， ∴代入得﹣2=﹣×（﹣6）2﹣2×（﹣6）+c，解得c=4， ∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+4， ∴y=﹣x2﹣2x+4=﹣（x2+4x+4）+6）=﹣（x+2）2+6 ∴A点的坐标为（﹣2，6）； （2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E， ∵∠CBD=90°， ∴∠CBO+∠EBD=90°， ∵∠BCO+∠CBO+90°， ∴∠EBD=∠BCO，∠CBO=∠BDE， ∴在△CBO与△BDE中 ∴△CBO≌△BDE（ASA） ∴DE=OB=2，BE=OC=4 ∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2）， 把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣x2﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适， ∴D点的坐标为：（2，﹣2） 图1 （3）存在． 若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形： （I）OB=OM． 由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在． （II）OB=ON． 若点M在y轴正半轴上，如答图2所示： 图2 此时△OBM≌△OMN， ∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，4）， ∴直线PE的解析式为：y=﹣x+2； 若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在． （III）OB=MN． ∵OB=2， ∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2， 则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合． 若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等； 若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形， 图3 ∴直线MN的解析式为：y=6． 综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣x+2．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程