如图，二次函数的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上-九年级数学
题文
如图，二次函数 的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式； （2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长； （3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为  ，求点M的坐标． |
答案
| （1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2； （2）OP=  ；（3）①M′（  ， ），②点M的坐标为（  ，3+ ）或（ ，3﹣）． |
试题分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式； （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标； ②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标． 试题解析：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2）， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2）， 即y=x2﹣x﹣2； （2）设OP=x，则PC=PA=x+1， 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2， 解得，x= ，即OP= ；（3）①∵△CHM∽△AOC， ∴∠MCH=∠CAO， （i）如图1，当H在点C下方时， ∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC ∴∠OCA+∠MCH=90° ∴∠OCM=90°=∠AOC ∴CM∥x轴 ∴yM=﹣2， ∴x2﹣x﹣2=﹣2， 解得x1=0（舍去），x2=1， ∴M（1，﹣2）， （ii）如图1，当H在点C上方时， ∵∠MCH=∠CAO， ∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM的解析式为y=kx﹣2， 把P（ ，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=  ，∴y= x﹣2，由 x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2= ，此时y= ×﹣2=，∴M′（ ，），②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=  ，在Rt△AOC中，AC=  = ，∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC， ∴  ，解得AD=2， ∴D（1，0）或D（﹣3，0）． 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图） 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6， 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1= ，x2=，∴点M的坐标为（ ，3+）或（，3﹣）．
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