已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．-九年级数学
题文
| 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4， （1）求二次函数解析式； （2）若  = ，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．  |
答案
| （1）二次函数解析式:y=﹣x2+4x． （2）k=﹣1． （3）k=﹣  ． |
试题分析：（1）根据对称轴为x=  =2，且函数过（0，0），则可得出b，c，从而得到函数解析式．（2）  = ，而且这两个三角形为同高不同底的三角形，易得 =，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为 = ．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．（3）以BC为直径的圆经过原点，易得∠BOC=90°，由（2）可发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB?FC=EO?FO．由此构造方程即可得k值． 试题解析： （1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点， ∴﹣  =2，0=0+0+c，∴b=4，c=0， ∴y=﹣x2+4x． （2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，  ∵  = ，∴  =，∴  = ，∵EB//FC， ∴  = =．∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C， ∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0， ∴△=（k﹣4）2﹣4?4=k2﹣8k， ∴x=  ，或x= ，∵xB＜xC， ∴EB=xB= ，FC=xC= ，∴4?  =，解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1． ∴k=﹣1． （3）∵∠BOC=90°， ∴∠EOB+∠FOC=90°， ∵∠EOB+∠EBO=90°， ∴∠EBO=∠FOC， ∵∠BEO=∠OFC=90°， ∴△EBO∽△FOC， ∴  ，∴EB?FC=EO?FO． ∵xB= ，xC= ，且B、C过y=kx+4，∴yB=k?  +4，yC=k?+4，∴EO=yB=k? +4，OF=﹣yC=﹣k? ﹣4，∴  ?=（k?+4）?（﹣k?﹣4），整理得 16k=﹣20， ∴k=﹣ ．
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