如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,4),点A在线段OP上,点B在x轴正半轴上,且AP=OB=t,0<t<4,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD;过点C、D依次向x轴、y轴作垂线,垂足为-九年级数学
题文
如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,4),点A在线段OP上,点B在x轴正半轴上,且AP=OB=t, 0<t<4,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD;过点C、D依次向x轴、y轴作垂线,垂足为M,N,设过O,C两点的抛物线为y=ax2+bx+c. (1)填空:△AOB≌△ ≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标:A(0, ; (2)求点C的坐标,并用含a,t的代数式表示b; (3)当t=1时,连接OD,若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O,求a的取值范围; (4)当抛物线开口向上,对称轴是直线,顶点随着t的增大向上移动时,求t的取值范围. |
答案
(1)DNA或△DPA;;(2)C(4,t),;(3)a>0或a<或<a<0;(4) 0<t≤. |
试题分析:(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得:△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC;根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标: ∵∠DNA=∠AOB=90°,∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等). 在△AOB与△DNA中,∵,∴△AOB≌△DNA(SAS). 同理△DNA≌△BMC. ∵点P(0,4),AP=t,∴. (2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等易推知:OM=OB+BM=t+=4,则C(4,t).把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得确. (3)利用待定系数法求得直线OD的解析式.与抛物线联立方程组,解得x=0或. 对于抛物线的开口方向进行分类讨论,即a>0和a<0两种情况下的a的取值范围. (4)根据抛物线的解析式得到顶点坐标是.结合已知条件求得a=,故顶点坐标为.由抛物线的性质知:只与顶点坐标有关,故t的取值范围为:0<t≤. 试题解析:解:(1)DNA或△DPA;. (2)由题意知,NA=OB=t,则OA=. ∵△AOB≌△BMC,∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+="4." ∴C(4,t). 又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C, ∴,解得. (3)当t=1时,抛物线为,NA=OB=1,OA=3. ∵△AOB≌△DNA,∴DN=OA=3. ∵D(3,4),∴直线OD为:. 联立方程组,得,消去y,得, 解得,x=0或. 所以,抛物线与直线OD总有两个交点. 讨论:①当a>0时,>3,只有交点O,所以a>0符合题意; ②当a<0时,若>3,则a<; 若<0,则得a>.∴<a<0. 综上所述,a的取值范围是a>0或a<或<a<0. (4)∵抛物线为,∴顶点坐标是. 又∵对称轴是直线x=,∴a=. ∴顶点坐标为:,即. ∵抛物线开口向上,且随着t的增大,抛物线的顶点向上移动, ∴只与顶点坐标有关,∴t的取值范围为:0<t≤.
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