题文

已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求k取值范围； （2）当k最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； （3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）画图见解析，1或．

试题分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k的取值范围. （2）根据k的取值范围可得当k=0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标. （3）由（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况： ①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值； ②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值． 试题解析：（1）由题意，得， ∴k＞-1， ∴k的取值范围为k＞-1. （2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0． ∴. 则抛物线的顶点坐标为（1，-4）. ∵的图象与x轴相交， ∴，∴解得：x=-1或3. ∴抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）； （3）翻折后所得新图象如图所示． 平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0）， ∴0=-1+m，即m=1．                    ②当直线位于l2时，此时l2与函数的图象有一个公共点， ∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根. ∴△=1-4（m-3）=0，即m=． 当m=时，x1=x2=满足-1≤x≤3， 由①②知m=1或m=．

据专家权威分析，试题“已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x