题文

在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴正半轴交于A点． （1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明见解析；（2）；（3）．

试题分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，要证明二次函数的图象与x轴有两个交点，只要对应的一元二次方程根的判别式大于0即可. （2）求出直线AB的解析式，根据平移的性质即可得直线l的解析式. （3）求出点M关于x轴的对称点所在的二次函数解析式，由其在直线l的下方求出m的取值范围． 试题解析：（1）令，则 . ∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点， ∴，且. 又，∴. ∴. ∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点． （2）令，解得：． 由（1）得，故B的坐标为（1，0）． 又因为∠ABO=45°，所以，即. 则可求得直线AB的解析式为. 再向下平移2个单位可得到直线． （3）由（2）得二次函数的解析式为 ∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点， ∴. ∴点M关于x轴的对称点的坐标为. ∴点在二次函数上. ∵当时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方， 当时，；当时，. 结合图象可知：， 解得：. ∴的取值范围为．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴正半轴交于A点．（1）求证..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：